fredag 7 mars 2014

Vagns rörelse i andragradsfunktion

Inledning

Syftet med laborationen var att tillämpa andragradsfunktioner i verkliga situationer. Målet var att registrera och presentera en vagns rörelse i ett s-t-diagram med en tillhörande andragradsfuntion, beskriva hur funktionen hänger ihop med vagnens rörelse och beräkna och tolka andragradsfunktionens nollställen, vertexkoordinater och största värde.

Material och utförande

I laborationen användes en digital mätutrustning bestående av en dator (1), ett interface (2), en vagn (3), en bana (4), ett stopp till banan, en förhöjning för att få banan att luta och en rörelsesensor (5).

Banan monterades först upp med ett stopp i ena änden. Sedan placerades en förhöjning i form av en låda i samma ände av banan för att få den att luta. En rörelsesensor placerades i andra änden av banan och kopplades via interfacet till datorn där programmet PASCO Capstone kördes. Slutligen placerades vagnen på banan.

Vagnen sattes i rörelse längs den lutande banan och rörelsesensorn började skicka signaler om vagnens tid och läge till datorn där programmet PASCO Capstone samlade in mätvärdena i en tabell och ritade upp en tillhörande andragradsfunktion.







Resultat

Kurvan som PASCO Capstone ritade genom att samla in mätdata från rörelsesensorn finns redovisad i bilden nedan. Det är en andragradsfunktion med vagnens position i m från rörelsesensorn på den lodräta axeln och den tid i s som gått sedan vagnen sattes i rörelse på den vågräta axeln.
   Ekvationens nollställen får vi genom att lösa ekvationen 0 = At+ Bt + C. I bilden nedan utläses att                                  

A = -0,458
B = 1,97
C = -0,131.
0 = -0,458t+ 1,97t - 0,131
0 =  t2- 4,30t + 0,286      
t = 2,15 ± 2,08
t1 = 0,07
t2 = 4,23
  Andragradsekvationen till kurvan gäller bara under ett begränsat tidsintervall då den sammanfaller med verkligheten. Nollställena som är uträknade är ekvationens nollställen och således inte mätvärdenas nollställen. Enligt ekvationen skulle vagnen ha skjutsats iväg från rörelsesensorn efter 0,07 sekunder och återvänt efter 4,23 sekunder. I verkligheten skjutsades vagnen iväg efter ca 0,25 s och återvände inte ens till rörelsesensorn, utan stoppades för hand en bit innan. 
  Symmetrilinjens ekvation får vi genom att lösa ut -p/2 från andragradsekvationen då x2-termen inte har någon koefficient framför sig. x = -p/2 = -(-4,30)/2 = 2,15
  Genom att sätta in det värde x har i symmetrilinjen får vi ut ekvationens största värde. 
-2,18y = 2,15t2- 9,25 + 0,286
-2,18y = 4,62 - 9,25 + 0,286
-2,18y = -4,34
2,18y = 4,34
y = 1,99
Ekvationens största värde y = 1,99 säger att vagnen som längst är 1,99 meter från rörelsesensorn, vilket vi tydligt ser på bilden nedan stämmer överrens med verkligheten.
  Vertex koordinater (x, y) ligger på symmetrilinjen då x = 2,15 och y = 1,99
Alltså är vertex koordinater (2,15; 1,99). 
  
Slutsats

Resultatet hänger ihop med verkligheten genom att största värdet y = 1,99 är samma som i verkligheten. Vertex koordinater (2,15; 1,99) betyder att vagnen befinner sig 1,99 m från rörelsesensorn efter 2,15 s och hänger även de ihop med vagnens rörelse. Däremot stämmer ekvationens nollställen inte överens med verkligheten, då vagnen inte skjutsas iväg från rörelsesensorn efter 0,07 sekunder och aldrig återvänder till rörelsesensorn. C-värdet -0,131 betyder att vagnen skulle ha startat från en punkt ca 13 cm bakom rörelsesensorn, vilket den inte gjorde. C-värdet hänger alltså inte ihop med vagnens rörelse. 

Inga kommentarer:

Skicka en kommentar